Tema 2: Unidad de memoria. Formulario

0. Conversiones de unidades

Truco: $1\text{ B}/1\text{ ns} = 10^9$ B/s $= 1000$ MB/s. Por ejemplo, 8 B cada 40 ns son 200 MB/s.

1. Conceptos básicos (2.2)

1.1 Bits de dirección

$n = \lceil \log_2 N \rceil \qquad (n = \log_2 N \text{ si } N = 2^n)$

Ejemplo: $N = 256$: $n = 8$, direcciones de 00000000 a 11111111. $N = 3000$: $n = 12$ porque $2^{11} = 2048 < 3000 \leq 4096$.

1.2 Direcciones sin usar

$\text{combinaciones sin usar} = 2^n - N \qquad (\text{direcciones de } N \text{ a } 2^n - 1)$

Ejemplo: $N = 3000$, $n = 12$: sobran $4096 - 3000 = 1096$ (0xBB8 a 0xFFF).

1.3 Capacidad

$C = N \cdot L \text{ bits} \qquad C = 2^n \cdot L \ (\text{si } N = 2^n) \qquad C = N \text{ bytes} \ (\text{si } L = 8)$

Ejemplo: $1024 \times 8$ bits $= 8192$ bits $= 1024$ B $= 1.024$ kB $= 1$ KiB.

1.4 Palabras

$\frac{L_p}{L} \ (\text{unidades por palabra}) \qquad N_p = \left\lfloor \frac{C}{L_p} \right\rfloor \qquad \text{sobrante} = C - N_p L_p$

Ejemplo: $C = 80$ bits, $L_p = 32$: $N_p = 2$, sobran 16 bits. Memoria de 64 KiB por bytes y $L_p = 32$: $4$ unidades por palabra y $N_p = 16\,384$.

1.5 Unidad de transferencia

$\frac{L_T}{L} \ (\text{unidades por transferencia}) \qquad \frac{L_T}{\text{ancho del bus}} \ (\text{transferencias del bus por acceso})$

Ejemplo: $L_T = 64$ bits por bytes: 8 unidades. Con bus de 32 bits, 2 transferencias; con bus de 64, una.

2. Rendimiento de las memorias (2.3.2)

2.1 Tiempos

$t_c \geq t_a \qquad \text{espera tras el dato} = t_c - t_a \qquad \text{inicio del acceso } k = (k - 1)\,t_c$

Ejemplo: $t_a = 60$, $t_c = 100$ ns: 40 ns de espera; el acceso 100 empieza a los $99 \cdot 100 = 9.9$ µs.

2.2 Frecuencia máxima de acceso

$f_{\max} = \frac{1}{t_c}$

Uso: accesos sin solapamiento. Depende de $t_c$, no de $t_a$. Ejemplo: $t_c = 200$ ns: $5 \cdot 10^6$ accesos/s.

2.3 Velocidad de transferencia

$v_T = \frac{N}{T} \qquad v_{T,\max} = L_T \cdot f_{\max} = \frac{L_T}{t_c}$

Ejemplo: $L_T = 8$ B, $t_c = 20$ ns: $v_{T,\max} = 400$ MB/s. 800 KiB en 5 ms: $v_T = 163.84$ MB/s.

2.4 Límite del bus

$v_{\text{memoria-procesador}} \leq \min\left(v_{T,\max},\ BW_{bus}\right)$

Ejemplo: memoria de 800 MB/s con bus de 400 MB/s: como máximo 400 MB/s.

2.5 Tiempo de ciclo para una velocidad objetivo

$t_c \leq \frac{L_T}{v_{\text{objetivo}}}$

Ejemplo: $L_T = 4$ B y 100 MB/s: $t_c \leq 40$ ns.

3. Memorias de semiconductores (2.5)

3.1 Densidad de almacenamiento

$D = \frac{C}{\text{superficie}} \quad (\text{bit/mm}^2,\ \text{Mibit/mm}^2)$

Ejemplo: SRAM 16 Mib/80 mm² $= 0.2$; DRAM 128 Mib/160 mm² $= 0.8$ (4 veces más densa).

3.2 Bits por celda flash

$\text{estados de carga} = 2^k$

4. Circuitos integrados y ampliación (2.6.1 y 2.6.2)

4.1 Terminales de un chip $2^n \times L$

$\text{dirección: } n \qquad \text{datos: } L \qquad \text{dirección multiplexada en dos partes iguales: } \frac{n}{2}$

Ejemplo: DRAM $2^{22} \times 4$: 22 terminales de dirección sin multiplexar, 11 con multiplexado (A0 a A10), 4 de datos.

4.2 Caso 1: más bits por unidad direccionable ($N = N_0$, $L > L_0$)

$r = \left\lceil \frac{C}{C_0} \right\rceil = \left\lceil \frac{L}{L_0} \right\rceil \qquad L = r \cdot L_0 \ (\text{si } L \text{ es múltiplo de } L_0)$

Ejemplo 2.8: $2^{10} \times 32$ con chips $2^{10} \times 8$: $r = 4$; 10 líneas de dirección y 32 de datos.

4.3 Caso 2: más unidades direccionables ($L = L_0$, $N > N_0$)

$q = \left\lceil \frac{C}{C_0} \right\rceil = \left\lceil \frac{N}{N_0} \right\rceil \qquad p = n - n_0 \qquad \text{decodificador de } p \text{ entradas y } 2^p \text{ salidas}$

Ejemplo 2.9: $2^{12} \times 8$ con chips $2^{10} \times 8$: $q = 4$; $A_9..A_0$ internos; $A_{11}A_{10}$ a un decodificador 2 a 4.

4.4 Chip y dirección interna (caso 2)

$\text{chip} = \left\lfloor \frac{\text{Dir}}{N_0} \right\rfloor \qquad \text{dirección interna} = \text{Dir} \bmod N_0$

Ejemplo: $5A3C_{16}$ con $N_0 = 2^{12} = 1000_{16}$: chip 5, dirección interna A3C.

4.5 Caso 3: ambas magnitudes

$r = \left\lceil \frac{L}{L_0} \right\rceil \qquad q = \left\lceil \frac{N}{N_0} \right\rceil \qquad N_{CI} = q \cdot r$

Ejemplo 2.10: $2^{12} \times 2$ con chips $2^{10} \times 1$: $r = 2$, $q = 4$, $N_{CI} = 8$.

4.6 Organización entrelazada (ejercicio 2.18)

$\text{chip} = \text{Dir} \bmod q \qquad \text{dirección interna} = \left\lfloor \frac{\text{Dir}}{q} \right\rfloor$

Ejemplo: 4 chips: C89 va al CI 1 con dirección interna 322.

5. Módulos, DDR y canales (2.6.3)

5.1 Rangos y capacidad del módulo

$\text{chips por rango} = \frac{\text{anchura del rango}}{L_{chip}} \qquad C_{rango} = \text{chips} \cdot C_{chip} \qquad C_{módulo} = N_{rangos} \cdot C_{rango}$

La anchura del módulo no cambia con el número de rangos. Ejemplo: 8 chips $2^{10} \times 8$ forman un rango $2^{10} \times 64$ de 8 KiB; dos rangos dan 16 KiB con 64 bits de anchura.

5.2 Tasa de transferencia y ancho de banda DDR

$T_{ck} = \frac{1}{f_{ck}} \qquad R_t = \frac{N_t}{T} \qquad R_t = 2 f_{ck} \qquad BW = R_t \cdot A$

Ejemplo 2.11: 3200 MT/s y 64 bits: $BW = 204\,800 \cdot 10^6$ bits/s $= 25.6$ GB/s. 1600 MHz dan 3200 MT/s.

5.3 Ancho de banda efectivo y canales

$BW_{ef} = \eta \cdot BW \qquad BW_{agregado} = N_{canales} \cdot BW_{canal}$

Ejemplo: 19.2 GB/s al 75 % son 14.4 GB/s. Dos módulos en un canal: 19.2 GB/s; en dos canales: 38.4 GB/s.

5.4 Módulos independientes con bus compartido

$t_c = t_{bus} + t_{int} \qquad N_{op} = \min\left(N_{mod},\ \frac{t_c}{t_{bus}}\right) \qquad v_{T,\max} = \frac{N_{op} \cdot L_T}{t_c}$

Ejemplo 2.12: $t_c = 50 + 200 = 250$ ns, $t_c/t_{bus} = 5$, 4 módulos: $4 \cdot 8\text{ B}/250\text{ ns} = 128$ MB/s; con 5 módulos, 160 MB/s.

5.5 Saturación y mejora

$N_{\min} = \left\lceil \frac{t_c}{t_{bus}} \right\rceil \qquad BW_{bus} = \frac{L_T}{t_{bus}} \qquad S(N) = \frac{BW(N)}{BW(1)} = \min\left(N, \frac{t_c}{t_{bus}}\right)$

Ejemplo (ejercicio 2.19): $t_c = 200$, $t_{bus} = 40$: 5 módulos saturan; $BW_{bus} = 200$ MB/s; $S(3) = 3$ (+200 %), $S(6) = 5$ (+400 %).

6. Memoria caché: organización (2.7.2)

6.1 Bloques y dirección de memoria principal

$N_{BP} = \left\lceil \frac{C_{MP}}{S_B} \right\rceil \qquad n = \lceil \log_2 C_{MP} \rceil \qquad f = \lceil \log_2 N_{BP} \rceil \qquad d = \log_2 S_B \qquad n = f + d$

Ejemplo 2.13: 64 B y bloques de 8 B: $N_{BP} = 8$, $n = 6$, $f = 3$, $d = 3$.

6.2 Bloque, desplazamiento y dirección

$j = \left\lfloor \frac{\text{Dir}_{MP}}{S_B} \right\rfloor \qquad p = \text{Dir}_{MP} \bmod S_B \qquad \text{Dir}_{MP} = j \cdot S_B + p$

Ejemplo: dirección 9 con $S_B = 8$: $j = 1$, $p = 1$; $1 \cdot 8 + 1 = 9$.

6.3 Líneas de caché

$N_{LC} = \frac{C_{MC}}{S_B} \qquad b = \lceil \log_2 N_{LC} \rceil \qquad i = 0..N_{LC} - 1$

Ejemplo 2.14: 16 B de caché y bloques de 8 B: $N_{LC} = 2$, $b = 1$.

6.4 Capacidad del directorio

$C_{dir} = N_{LC} \cdot (e + \text{bits de control}) \qquad C_{total} = C_{MC} + C_{dir}$

Ejemplo (ejercicio 2.22): 64 líneas, $e = 4$ y $V$: $64 \cdot 5 = 320$ bits $= 40$ B; total $4096 + 40 = 4136$ B.

7. Métodos de correspondencia (2.7.3)

7.1 Directa

$i = j \bmod N_{LC} \qquad b = \log_2 N_{LC} \qquad n = e + b + d \qquad e = n - (b + d)$

| Etiqueta (e) | Línea i (b) | Desplazamiento (d) |

Ejemplo 2.15: $n = 6$, $N_{LC} = 2$, $S_B = 8$: $e = 2$, $b = 1$, $d = 3$. Dirección 9 = 00 1 001: etiqueta 0, línea 1, $p = 1$.

7.2 Totalmente asociativa

$e = f = \lceil \log_2 N_{BP} \rceil \qquad n = e + d \qquad e = n - d$

| Etiqueta (e) = Bloque j | Desplazamiento (d) |

Ejemplo 2.17: $n = 6$, $d = 3$: $e = 3$. Dirección 9 = 001 001: etiqueta 1 (= bloque 1).

7.3 Asociativa por conjuntos ($r$ vías)

$Q = \frac{N_{LC}}{r} \qquad q = j \bmod Q \qquad c = \log_2 Q \qquad n = e + c + d \qquad e = n - (c + d)$

| Etiqueta (e) | Conjunto q (c) | Desplazamiento (d) |

Casos límite: $r = 1$ es directa; $r = N_{LC}$ es totalmente asociativa. Ejemplo 2.20: 32 B de caché, bloques de 8 B, $r = 2$: $N_{LC} = 4$, $Q = 2$, $c = 1$, $e = 2$. Dirección 9: conjunto 1, etiqueta 0.

7.4 Comparaciones por acceso

8. Rendimiento de la caché (2.7.6)

8.1 Tasas

$N_T = N_A + N_F \qquad h = \frac{N_A}{N_T} \qquad m = \frac{N_F}{N_T} \qquad h + m = 1$

Ejemplo (ejercicio 2.24): 2 aciertos en 8 accesos: $h = 0.25$, $m = 0.75$.

8.2 Tiempo medio de acceso (un nivel)

$T_T = N_A t_A + N_F t_F \qquad t_{am} = \frac{T_T}{N_T} = h\,t_A + (1 - h)\,t_F$

$t_A = t_c \qquad t_F = t_c + P_F \qquad t_{am} = t_c + (1 - h)\,P_F = t_c + m\,P_F$

Ejemplo 2.22: $t_c = 10$, $P_F = 20 + 100 = 120$ ns, $h = 0.9$: $t_F = 130$ ns y $t_{am} = 22$ ns.

8.3 Fallo con bloque de varias palabras (ejercicio 2.29)

$t_{F,A} = t_{det} + t_{pal} \qquad t_{F,B} = t_{det} + N_{pal}\,t_{pal} + t_c$

Ejemplo: 8 palabras de 100 ns, $t_{det} = t_c = 10$ ns: $t_{F,A} = 110$ ns, $t_{F,B} = 820$ ns; con $h = 0.9$, $t_{am} = 20$ y 91 ns.

8.4 Dos niveles de caché

$P_{F1} = t_2 + m_2\,t_M \qquad t_{am} = t_1 + m_1\,(t_2 + m_2\,t_M) \qquad m_{global} = m_1\,m_2$

Tiempos de cada caso: acierto en L1, $t_1$; acierto en L2, $t_1 + t_2$; fallo en ambos, $t_1 + t_2 + t_M$. Ejemplo 2.23: $t_1 = 2$, $m_1 = 0.05$, $t_2 = 10$, $m_2 = 0.2$, $t_M = 100$: $P_{F1} = 30$ ns, $t_{am} = 3.5$ ns.

8.5 Tres niveles de caché

$P_{F1} = t_2 + m_2\,(t_3 + m_3\,t_M) \qquad t_{am} = t_1 + m_1\big(t_2 + m_2\,(t_3 + m_3\,t_M)\big)$

8.6 Proporción resuelta en cada nivel (sobre el total)

$\text{L1: } h_1 \qquad \text{L2: } m_1 h_2 \qquad \text{memoria principal: } m_1 m_2$

Ejemplo (ejercicio 2.30): $h_1 = 0.92$, $h_2 = 0.75$: 92 %, 6 % y 2 %.

9. Memorias asociativas (2.8)

$M_i = V_i \cdot \prod_{j}\left(\overline{K_j} + \overline{A_j \oplus W_{ij}}\right)$

Ejemplo 2.24: argumento 10011010, máscara 10010101: patrón 1xx1x0x0; con validez 11100, marca 01100.

10. Discos duros magnéticos (2.9.2)

10.1 Geometría y capacidad

$N_{pistas} = N_{sup} \cdot N_{cil} \qquad N_{sect} = N_{pistas} \cdot S \qquad C = N_{sect} \cdot C_s \qquad P = S \cdot C_s$

Ejemplo (ejercicio 2.36): 8 superficies, 1200 cilindros, 200 sectores de 4096 B: 9600 pistas, 1 920 000 sectores, $\approx 7.32$ GiB.

10.2 Rotación y latencia

$f = \frac{n}{60} \qquad T_{rev} = \frac{60}{n} = \frac{1}{f} \qquad t_r = \frac{T_{rev}}{2} = \frac{30}{n} = \frac{1}{2f}$

Ejemplo: 7200 rpm: $f = 120$, $T_{rev} = 8.33$ ms, $t_r = 4.17$ ms. 5400 rpm: $t_r = 5.56$ ms.

10.3 Tiempo de transferencia

$t_t = \frac{N}{v_T} \qquad v_T = P\,f \qquad t_t = \frac{N}{P\,f} = \frac{N_s}{S\,f} = \frac{R}{f} \qquad R = \frac{N}{P} = \frac{N_s}{S}$

Uso: modelo idealizado de transferencia continua dentro de una pista. Ejemplo 2.26: 2048 sectores de 512 B y 90 rev/s: $v_T = 94\,371\,840$ B/s; una pista tarda $1/90$ s $\approx 11.111$ ms; un sector, $1/(2048 \cdot 90)$ s $\approx 0.005425$ ms.

10.4 Tiempo medio de acceso y de operación

$t_a = t_b + t_r \qquad t_{E/S} = t_b + t_r + t_t = t_a + t_t$

Ejemplo 2.25: 7200 rpm, $t_b = 8$ ms, 600 kB a 150 MB/s: $t_a = 12.17$ ms, $t_t = 4$ ms, $t_{E/S} = 16.17$ ms.

10.5 Secuencial frente a aleatorio

$t_{sec} = t_b + N_p\,(t_r + T_{rev}) \qquad t_{aleat} = N_s\,(t_b + t_r + t_{t,s})$

Son los supuestos del ejemplo 2.26; cada problema puede plantear otros. Ejemplo 2.26: 4 MiB, 4 pistas: $10 + 4(5.556 + 11.111) \approx 76.667$ ms; aleatorio con 8192 sectores: $\approx 127.477$ s.

10.6 LBA con emulación 512e

$\frac{4096}{512} = 8 \text{ bloques lógicos por sector} \qquad \text{sector} = \left\lfloor \frac{LBA}{8} \right\rfloor \qquad \text{posición} = LBA \bmod 8$

Ejemplo (ejercicio 2.39): LBA 35: sector físico 4, posición 3.

11. Unidades de estado sólido (2.9.3)

11.1 Capacidades

$C_{bloque} = N_{pág/bloque} \cdot C_{pág} \qquad \frac{C_{pág}}{C_{LBA}} \ (\text{bloques lógicos por página}) \qquad \frac{C_{bloque}}{C_{LBA}} \ (\text{por bloque físico})$

Ejemplo 2.27: 256 páginas de 8 KiB: bloque de 2 MiB; 2 bloques lógicos de 4 KiB por página; 512 por bloque físico (equivalencia de capacidad, no correspondencia fija).

11.2 IOPS y velocidad

$N = N_o \cdot S_o \qquad IOPS = \frac{N_o}{T} \qquad v_T = \frac{N}{T} = IOPS \cdot S_o \qquad t_m = \frac{1}{IOPS}$

Ejemplo 2.28: 50 000 IOPS de 4 KiB: 200 000 KiB/s $= 195.31$ MiB/s; $t_m = 20$ µs.

11.3 Comparaciones HDD frente a SSD

$\frac{t_{a,HDD}}{t_{resp,SSD}} \qquad \frac{T_{HDD}}{T_{SSD}} = \frac{v_{SSD}}{v_{HDD}}$

Ejemplo 2.29 y 2.30: $15.5556/0.1 \approx 155.6$; 12 GB: 60 s frente a 4 s, 15 veces.

12. Discos ópticos (2.9.4)

$v_T = k \cdot v_{1\times} \qquad N = v_T \cdot T \qquad T = \frac{N}{v_T}$

Ejemplo 2.31: DVD 8x: 11.08 MB/s; 221.6 MB en 20 s; 2 GB en 180.51 s.

13. Cintas magnéticas (2.9.5)

$T = \frac{N}{v_T} \qquad T_{total} = T_{loc} + T \qquad N_{cartuchos} = \left\lceil \frac{\text{volumen}}{\text{capacidad por cartucho}} \right\rceil$

Ejemplo 2.32: 120 GB a 400 MB/s con 50 s de localización: $T = 300$ s y $T_{total} = 350$ s.

Tabla resumen rápida